卡方分布的均值和方差

$Q=Z_1^2+Z_2^2+Z_3^2\cdot\cdot\cdot\cdot+Z_n^2$
其中 $Z_1,Z_2.....Z_n相互独立,且都服从标准N(0,1)$

推导E(Q)

利用期望的线性性质:和的期望等于期望的和

$E(Q)=E(\sum_{i=1}^{n} Z_i^2)=\sum_{i=1}^{n} E(Z_i^2)$

对于标准正态分布 $Z_i \sim N(0,1)$ ,它的方差是1,而方差公式为:

$D(Z_i)=E(Z_i^2)-[E(Z_i)]^2$

待人 $D(Z_i)=1,且E(Z_i)=0$ ,可得:

$1=E(Z_i^2)-0 \Rightarrow E(Z_i^2)=1$

所以每一项期望都是1,加在一起就是

$E(Q)=1+1+1\cdot\cdot\cdot+1=n$

因为 $Z_1^2,Z_2^2,Z_3^2\cdot\cdot\cdotZ_n^2$ 相互独立(正态变量的函数仍然相互独立),所以和的方差等于方差的和

$D(Q)=\sum_{i=1}^{n} D(Z_i^2)$

现在问题变成:计算 $D(Z_i^2)$

利用方差公式:

$D(Z_i^2)=E(Z_i^4)+[E(Z_i^2)]^2$

我们已经知道 $E(Z_i^2)=1$ ,所以:

$D(Z_i^2)=E(Z_i^4)-1$

现在需要 $E(Z_i^4)$ ,即标准正态分布的四阶原点矩。这个值是:

$E(Z_i^4)=3$

这是一个常用结论，可以通过积分 $\int_{-\infty}^{\infty} z^4 \cdot \frac{1}{\sqrt{2\pi}} e^{-z^2/2} dz =3$ 得到

于是

$D(Z_i^2)=3-1=2$

所以 $Q(n)=2+2+2\cdot\cdot\cdot+2=2n$

这就是方差公式的由来