矩阵与特征值

题目

设A是三阶对称实矩阵,且A^2=2A ,已知A的迹(主对角线元素之和) tr(A) = A

1. 写出A可能的全部特征值
2. 判断A是否一定是正定矩阵，请说明理由

答案

1. 设λ是A的一个特征值,对应的特征向量x!=0,则
   Ax=λx
   两边同时乘以A:
   A^2x=(Aλ)x=λAx=λ^2x
   又因为题目给了A^2=2A,所以
   A^2x=2Ax=2λx
   于是:
   λ^2x=2λx \Rightarrow (λ^2-2λ)x=0
   因为x!=0,所以
   λ^2-2λ=0 \Rightarrow λ=0或λ=2
2. 利用tr(A)=4,
   迹等于特征值之和,A是三阶矩阵,所以有三个特征值(计重数),每个只能是0或2
   设有x个是2，则有
   2x+(3-x)⋅X=4 \Rightarrow x=2
   所以特征值为2，2，0
   所以不是正定矩阵